[논리회로설계] 부울 대수

불 대수

불 대수

; 1845년 영국의 수학자 조지 불이 창안한 논리식을 표현하고 간소화하는 수학

• AND, OR, NOT으로 표현

• 입력과 출력은 알파벳 대문자로, AND는 곱셈으로, OR는 덧셈으로, NOT은 A바 또는 A'로 표현

• 입력에 따라 원하는 출력이 나오도록 논리식을 만들 수 있음

불 대수 법칙

• 불 대수의 모든 항은 0 또는 1을 갖는다.

• 아래의 표는 증명 없이 사용하기로 한 AND와 OR의 불 대수 공리

불 대수의 기본 법칙

이때 1은 전체 집합(U), 0은 공집합이라고 생각하면 된다.

 

진리표를 이용한 분배 법칙 A+B*C = (A+B)*(A+C)의 증명

15번에 대한 증명

진리표를 이용한 드모르간의 정리 (A+B)' = A' * B'

16번에 대한 증명

아래와 같이 논리 게이트로 표현할 수 있다.

항이 많아도 동일하게 적용된다.

 

불 대수식의 표현 형태

; 곱의 합과 합의 곱으로 표현할 수 있음

곱의 합과 최소항

곱의 합

; 1단계 입력이 AND항(곱의 항)으로 구성되고, 2단계 출력이 OR항(합의 항)으로 만들어진 논리식

최소항

; 입력 변수를 모두 포함하는 AND항

• 입력이 0이면 입력 변수의 부정을 쓰고, 입력이 1이면 입력 변수를 그대로 쓴 후 AND로 결합

• 입력 변수가 A, B일 때 만들 수 있는 최소항은 A'B', A'B, AB', AB

최소항 식

; 출력이 1이 되는 항의 입력 변수를 AND 연산하고 각 항을 OR 연산하는 식

0, 1, 3, 5, 7에 해당하는 부분만 1이 되는 것.

합의 곱과 최대항

합의 곱

; 1단계 입력이 OR(합의 항)으로 구성되고, 2단계 출력이 AND항(곱의 항)으로 만들어진 논리식

최대항

; 입력 변수를 모두 포함하는 OR항

• 입력이 0이면 입력 변수를 그대로 쓰고, 입력이 1이면 입력 변수의 부정을 쓴 후 OR로 결합

• 논리 변수가 A, B일 때 만들 수 있는 최대항은 (A+B), (A+B'), (A'+B), (A'+B')

최대항 식

; 최소항 식과 반대로 출력이 0이 되는 항의 입력 변수를 OR 연산하고 각 항을 AND 연산하는 식

최소항과 최대항의 관계

; 최소항 식은 출력이 1인 항의 곱으로 나타낸 것이고, 최대항 식은 출력이 0인 항의 곱으로 나타낸 것

즉, 서로 보수의 성질을 띤다.